Информация о следующем конкурсе РЭШ всегда доступна по адресу: http://iloveeconomics.ru/nes

Задача 14

$ p=e_c+e_m $
$ p=p_c+p_m $
$ p_c=ap $ $ p_m=(1-a)p $, где $ 0\le a \le 1 $ -доля Саши от общего пирога.
а) Пирог делится пополам $ a=0,5 $
$ p_c+p_m=e_c+e_m $
$ e_c+e_m=2p_c=2p_m $
Тогда $ p_c=0,5(e_c+e_m)=p_m $
Получаем функции полезности ребят:
$ U_c=0,5(e_c+e_m)-0,25e_c^2 $
$ U_m=0,5(e_c+e_m)-0,125e_m^2 $

$ U_c=0,5e_c-0,25e_c^2+0,5e_m $-парабола(относит.$ e_c $, ветви вниз, есть маx при $ e_c=0,5/(2*0,25)=1 $
Причем $ 0,5e_m $ -свободный член, т.е. усилия второго не влияют на решение первого.

$ U_m=0,5e_m-0,125e_m^2+0,5e_c $-парабола(относит.$ e_m $, ветви вниз, есть маx при $ e_m=0,5/(2*0,125)=2 $
Причем $ 0,5e_с $ -свободный член, т.е. усилия первого не влияют на решение второго.
И общий размер пирога будет $ p=1+2=3 $

б)ВСЕ устанавливает мама.
Сначала удовольствие Саши было равно $ U_c=0,5(1+2)-0,25*1^2=1,25 $
а удовольствие Маши $ U_m=0,5(1+2)-0,125*2^2=1 $
Существуют ли такие $ e_c e_m a $, что

$$\begin{cases}$a(e_c+e_m)-0,25e_c^2>1,25$ ,\ \\ $(1-a)(e_c+e_m)-0,125e_m^2>1$,\end{cases}$$

Сложим два неравенства и выделим полные квадраты в получившемся:
$ 2(e_c-2)^2+(e_m-4)^2-6<0 $
Например, это выполнено при $ e_c=2 $ и при $ e_m=4 $
Значит, мама сможет увеличить удовольствие ребят.

в) Максимизируем удовольствие мамы.
$ U_{mum}=p_c+p_m-0,25e_c^2-0,125e_m^2 $
Т.к. $ p_c+p_m=e_c+e_m $, то
После преобразований и выделения полных квадратов получаем:
$ U_{mum}=3-0,125(2(e_c-2)^2+(e_m-4)^2) $
Правое слагаемое - сумма квадратов, т.е. больше нуля.
Поэтому максимальное удовольствие мамы равно $ U_{mum}^{max}=3 $ и достигается при уровнях усилий $ e_c=2 $ и $ e_m=4 $

г)$ е_c $ и $ е_m $ -выбирают сами
$ p_c=ap=a(e_c+e_m) $
$ U_c=a(e_c+e_m)-0,25e_c^2 $ Максимум функции при $ e_c=a/(2*0,25)=2a $

Теперь аналогично рассмотрим полезность Маши:
$ U_m=(1-a)(e_c+e_m)-0,125e_m^2 $
Максимум функции при $ e_m=(1-a)/(2*0,125)=4(1-a) $
Тогда значение полезности Саши будет так зависеть от его доли a:
$ U_c=a(2a+4(1-a))-0,25*(2a)^2 $

$$U_c=4a-3a^2$$

А полезность Маши:
$ U_m=(1-a)(2a+4(1-a))-0,125(4(1-a))^2 $

$$$U_m=2(1-a)$$

Рассмотрим функцию полезности Саши, зависимую от доли пирога:
$ U_c=4a-3a^2 $ Это парабола, ветви вниз, имеет максимум при $ a=2/3 $
Т.е. при $ 0\le a \le 2/3 $ возрастает, а при $ 2/3\le a \le 1 $ убывает.
Поэтому утверждение "Саше будет в итоге тем лучше, чем больше предписанная ему доля" неверно.

Теперь утверждение " какова бы ни была первоначальная пропорция дележа, папа, переустанавливая ее, сделал бы одному из ребят хуже"
Функция полезности Маши монотонно убывает с ростом доли Саши.
Значит, если папа снижает долю Саши, то Маше становится лучше.
Для $ 2/3\le a \le 1 $ при уменьшении $ a $ Саше тоже становится лучше.
Поэтому рассматриваемое утверждение неверно.
Ответ: a) $ e_m=2 $
$ e_c=1 $
$ p=3 $
б)Может
в)Достаточно : $ e_m=4 $
$ e_c=2 $
г)Оба утверждения неверные.