Задача 14
, где -доля Саши от общего пирога.
а) Пирог делится пополам
Тогда
Получаем функции полезности ребят:
-парабола(относит., ветви вниз, есть маx при
Причем -свободный член, т.е. усилия второго не влияют на решение первого.
-парабола(относит., ветви вниз, есть маx при
Причем -свободный член, т.е. усилия первого не влияют на решение второго.
И общий размер пирога будет
б)ВСЕ устанавливает мама.
Сначала удовольствие Саши было равно
а удовольствие Маши
Существуют ли такие , что
Сложим два неравенства и выделим полные квадраты в получившемся:
Например, это выполнено при и при
Значит, мама сможет увеличить удовольствие ребят.
в) Максимизируем удовольствие мамы.
Т.к. , то
После преобразований и выделения полных квадратов получаем:
Правое слагаемое - сумма квадратов, т.е. больше нуля.
Поэтому максимальное удовольствие мамы равно и достигается при уровнях усилий и
г) и -выбирают сами
Максимум функции при
Теперь аналогично рассмотрим полезность Маши:
Максимум функции при
Тогда значение полезности Саши будет так зависеть от его доли a:
А полезность Маши:
Рассмотрим функцию полезности Саши, зависимую от доли пирога:
Это парабола, ветви вниз, имеет максимум при
Т.е. при возрастает, а при убывает.
Поэтому утверждение "Саше будет в итоге тем лучше, чем больше предписанная ему доля" неверно.
Теперь утверждение " какова бы ни была первоначальная пропорция дележа, папа, переустанавливая ее, сделал бы одному из ребят хуже"
Функция полезности Маши монотонно убывает с ростом доли Саши.
Значит, если папа снижает долю Саши, то Маше становится лучше.
Для при уменьшении Саше тоже становится лучше.
Поэтому рассматриваемое утверждение неверно.
Ответ: a)
б)Может
в)Достаточно :
г)Оба утверждения неверные.
- Для комментирования необходимо авторизоваться