а)
Пусть:
Ес=0,
тогда:
Еm=π;
πc=0,5π; (по условию);
πm=0,5π; (по условию);
тогда:
Uc=0,5π-0²/4=0,5π
Um=0,5π/1-π²/8=(4π-π²)/8;
Пусть:
Ec=0,5π;
тогда:
Em=0;
πc=0,5π; (по условию);
πm=0,5π; (по условию);
тогда:
Uc=0,5π/1-π²/4=(2π-π²)/4;
Um=0,5π;
Значит: Саша максимизирует своё удовольствие Uc=0,5π, если выберет уровень усилий Ec=0, а Маша максимизирует своё удовольствие Um=o,5π, если выберет уровень улисий Em=0. Следовательно общий размер пирога будет равен 0,5π+0.5π=π, значит они сделают один пирог.
б)
1.
Пусть:
πc=0,9π;
πm=0,1π;
тогда:
Ec=0,1π;
Em=0,9π;
тогда:
Uc=0,9π-(0,01π²)/4=(3,6π-0,01π²)/4;
Um=0,1π-(0,8π²)/8=(0,8π-0,01π²)/8;
В данном случае у Маши удовольствие меньше чем в первоначальной ситуации.(Um=0,5π;);
2.
Пусть:
Ес=0,1π;
Em=0,9π;
тогда:
πс=0,5π;
πm=0,5π;
тогда:
Uc=0,5π-(0,01π²)/4=(2π-0,01π²)/4;
Um=0,5π-(0,81π²)/8=(4π-0,81π²⁾/8;
В данном случае у Маши удовольствие меньше чем в первоначальной ситуации.(Um=0,5π;);
3.
Пусть:
Ec=0,1π;
Em=0,9π;
тогда:
πc=0,1π;
πm=0,9π;
тогда:
Uc=0,1π-(0,01π²)/4=(0,4π-0,01π²)/4;
Um=0,9π-(0,81π²)/8=(4π-0,81π²)/8;
В данном случае у Саши удовольствия меньше чем в первоначальной ситуации. (πc=0,5π;);
Такая же ситуация будет и в остальных случаях, мама не сможет увеличить удовольствие каждого из ребят одновременно.
в)
Нет, не достаточно. ТАк как помимо уровня усилий для расчёта удовольствия нам необходимо знать пропорцию разделения пирога между Сашей и Машей.
г)
1.
Пусть:
Ec=0;
Em=π;
πc=0,9;
πm=0,1;
тогда:
Uc=0,9π;
Um=0,1π-π²/8=(0,8π-π²)/8;
В этом случае Саша получил 90% пирога и соответственно он получил значительно больше удовольствий, чем Маша.
2.
Пусть:
Ec=0;
Em=π;
πc=0,1π;
πm=0,9π;
тогда:
Uc=0,1π;
Um=0,9π-π²/8=(7,2π-π²)/8;
В данном случае Саша получил 10% от всего пирога, но при этом он получил удовольствий значительно меньше по сравнению с Машей.
Таким образом действительно, Саше будет тем лечше, чем больше предназначенная ему доля.
3.
Допустим:
Em=0;
Ec=π;
πm=0,9π;
πc=0,1π;
тогда:
Um=0,9π;
Uc=o,1π-π²/4=(0,4π-π²)/4;
То есть, в сравнении с вариантом "а", где Ес=π; Еm=0; πc=0,5π; πm=0,5π; Uc=(2π-π²)/8; Um=0,5π; , произошло повышение удовольствия Саши. Зачит, верно. Что при изменении пропорций деления пирога, одному станет лучше, а другому хуже.